这篇笔记从单纯复形开始，经过同调群、贝蒂数以及过滤等概念，给出了持久同调性的概念和计算方法。其中的主要内容基于ETH的课堂笔记 TDA24/Script.pdf ，同时添加了一些结论的证明过程（如有关欧拉-庞加莱公式的证明）和对原文中不甚清晰的部分的进一步说明，这使得它可能是目前最简明的有关持久同调的中文笔记。 完全理解这些内容需要一些抽象代数（同态基本定理）和拓扑学（同胚、度量空间）的基础，但他

交换代数笔记，作者陶安博。

该笔记的主要内容参考李宏毅老师的机器学习课程 Machine_Learning: 李宏毅2021/2022/2023春季机器学习课程课件及作业以及 Lil 的博客 What are Diffusion Models? ，主要关注其中涉及的公式推导。

论文：PU-GCN: Point Cloud Upsampling using Graph Convolutional Networks 代码：PU-GCN: Point Cloud Upsampling using Graph Convolutional Networks (github.com)

和弦理论笔记，教程出处：自由派音乐理论 。

抽象代数笔记，仅供个人参考。