持久同调性简介

这篇笔记从单纯复形开始，经过同调群、贝蒂数以及过滤等概念，给出了持久同调性的概念和计算方法。其中的主要内容基于ETH的课堂笔记 TDA24/Script.pdf ，同时添加了一些结论的证明过程（如有关欧拉-庞加莱公式的证明）和对原文中不甚清晰的部分的进一步说明，这使得它可能是目前最简明的有关持久同调的中文笔记。

完全理解这些内容需要一些抽象代数（同态基本定理）和拓扑学（同胚、度量空间）的基础，但他们不会花费太久的时间。如果不是有志于专业的数学，拓扑数据分析（TDA）不需要全面地掌握某一学科，这使得我们可以快速地理解和使用它。

TDA对于我来说是一个完全陌生的领域，并且我没有接受过任何指导或训练，因此笔记中可能包含不准确的地方（尤其是其中的练习）。但我相信这是一个好的开始。